Solve y& x27;& x27; 5y& x27;。y&。y& x27;& x27; 5y& x27;+6y=(2x+3)e^(3x) という微分方程式を未定係数法を用いて解くとどのようになりますか C。&#; [ % [ { @ }@ =
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y''-5y'+6y=2x+3e^3x 特性方程式 λ2-5λ+6=0 を解いて同次式の基本解は e^2x, e^2x原式右辺に基本解が1回かぶりで含まれているので、特殊解はy?=xαx+βe^3x=fe^3x と置ける。*右辺に基本解が含まれていないなら y?=αx+βe^3x と置く。右辺に基本解が2回かぶりで含まれているなら y?=x2αx+βe^3x と置く。例 y''-6y'+9y=2x+3e^3x ''-6y'%2B9y%3D2x%2B3e%5E3xこれを原式に代入fe^3x“-5fe^3x'+6fe^3x=2x+3e^3x f“+6f′+9f-5f′+3f+6f = 2x+3f“+f′= 2x+3αx2+βx“+αx2+βx′= 2x+32α+2αx+β = 2x+3α=β=1一般解 y = C? e^2x + C? e^3x + xx+1e^3x補助方程式 Ly=y''-5y'+6y=0の特性方程式は m2-5m+6=0より特性根2,3を得る。よって余関数は yc=c?e2?+c?e3?となる。次に特殊解を未定係数法を用いて求める。 D=d/dx,HD=D2-6D+9とおくと, HD2x+3e3? =D2-6D+92x+3e3?=0より求める特殊解ypは HDLDy=D2-6D+9 D2-5D+6y=D-33D-2y=0の解である。この方程式の特性方程式はm-33m-2=0より基本解はe2?,e3?,xe3?,x2e3?であるが,e2?,e3?は余関数の解なので省くと yp=Axe3?+Bx2e3?と表わせる。これをLDy=2x+3e3?に代入すると、 LDAxe3?+Bx2e3?=9Bx2e3?+9A+12Bxe3?+6A+2Be3?-53Bx2e3?+3A+2Bxe3?+Ae3?+6Axe3?+Bx2e3?=2x+3e3?となるので,A=1,B=1を得る。これより特殊解は、 yp=xe3?+x2e3?よって,一般解は、 y=yc+yp=c?e2?+c?e3?+xe3?+x2e3?